Τα τελευταία χρόνια, το Dobble, γνωστό και ως Προσδιορίστε το!— έχει γίνει ένα από τα πιο δημοφιλή επιτραπέζια παιχνίδια μεταξύ παιδιών και ενηλίκων. Εκατομμύρια αντίτυπα έχουν πουληθεί στα διάφορα θέματα του: εκτός από το παραδοσιακό, υπάρχουν και εκδόσεις του Χάρι Πότερ, του Frozen ή του Star Wars. Παρά την απλότητά του (βασικά ο πιο γρήγορος κερδίζει), ο σχεδιασμός του βασίζεται σε μια περιοχή των μαθηματικών που είναι γνωστή ως προβολική γεωμετρία.
Το Dobble έχει 55 φύλλα, το καθένα με οκτώ διαφορετικά σύμβολα, τακτοποιημένα έτσι ώστε όταν παίρνετε οποιαδήποτε δύο φύλλα, να έχουν πάντα ένα κοινό σύμβολο. Στην αρχή του παιχνιδιού, μοιράζεται σε κάθε παίκτη ένα φύλλο και τα υπόλοιπα τοποθετούνται σε ένα σωρό, ανοιχτά. Το πρώτο άτομο που προσδιορίζει το σύμβολο που μοιράζεται την κάρτα του με αυτό που βρίσκεται στο κεντρικό σωρό το κρατά, δείχνοντας μια νέα κάρτα στο κέντρο. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να εξαντληθούν τα φύλλα και να κερδίσει το άτομο που έχει συγκεντρώσει τα περισσότερα. Λοιπόν, αυτό το απλό χόμπι μπορεί να γίνει κατανοητό ως μια πεπερασμένη εκδοχή της λεγόμενης προβολικής γεωμετρίας.
Η προβολική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που αποτυπώνει την ιδέα της προοπτικής, δηλαδή το πώς αντιλαμβανόμαστε τα αντικείμενα από τη σκοπιά μας ως παρατηρητές. Για παράδειγμα, αν και οι δύο γραμμές του τρένου είναι παράλληλες – παραμένουν πάντα στην ίδια απόσταση μεταξύ τους – όταν στέκεστε πάνω τους και κοιτάζετε προς την κατεύθυνση προς την οποία απομακρύνονται, έχετε την αίσθηση ότι πλησιάζουν ο ένας τον άλλον. στο άλλο. άλλος να διασχίσει τον ορίζοντα.
Στην προβολική γεωμετρία αυτή η ιδέα επισημοποιείται και καθιερώνεται, ως θεμελιώδης ιδιότητα του χώρου, ότι οποιοδήποτε ζεύγος γραμμών τέμνεται σε ένα μόνο σημείο. Αυτό το σημείο θα είναι μέσα στο χώρο, εάν οι γραμμές τέμνονται σε αυτό. ή θα είναι ένα σημείο στο άπειρο, αν είναι παράλληλες, όπως στην περίπτωση των σιδηροτροχιών. Επομένως, το προβολικό επίπεδο είναι ένας τρόπος επέκτασης του συνηθισμένου επιπέδου, που ονομάζεται επίσης καρτεσιανό, προσθέτοντας σε κάθε ευθεία ένα σημείο του άπειρου, στο οποίο η εν λόγω ευθεία τέμνει όλα τα παράλληλά της. Η ένωση όλων των σημείων του άπειρου σχηματίζει, με τη σειρά του, μια ευθεία προς το άπειρο – τη γραμμή του ορίζοντα, στην αναλογία των σιδηροδρομικών γραμμών – η οποία συνδέεται επίσης με ένα επιπλέον σημείο στο άπειρο.
Στην τελική του έκδοση – αυτή που αντικατοπτρίζεται στο Dobble – αυτές οι γεωμετρίες αλλάζουν ελαφρώς. Οι γραμμές, αντί να αποτελούνται από έναν άπειρο αριθμό σημείων, όπως διδάσκουν στο σχολείο, περιέχουν μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό, όπως συμβαίνει σε μια οθόνη τηλεόρασης, όπου κάθε γραμμή – οποιαδήποτε εικόνα, μάλιστα – έχει έναν αριθμό. των εικονοστοιχείων. Το Dobble αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη πεπερασμένη προβολική γεωμετρία, στην οποία κάθε γραμμή έχει ακριβώς οκτώ σημεία: επτά σημεία στο διάστημα συν ένα στο άπειρο. Στο παιχνίδι, οι τελείες είναι τα σύμβολα που εμφανίζονται στις κάρτες και κάθε φύλλο είναι μια ευθεία γραμμή. Όπως και στο προβολικό επίπεδο, κάθε δύο γραμμές έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο, δηλαδή κάθε δύο κάρτες έχουν ακριβώς ένα κοινό σύμβολο.
Επομένως, το προβολικό επίπεδο του Dobble μπορεί να απεικονιστεί ως ένα επίπεδο 7 x 7 σημείων στο οποίο προστίθεται μια γραμμή στο άπειρο, με το επιπλέον σημείο της. Συνολικά, αυτό το προβολικό επίπεδο έχει 7^2 + 7 + 1 = 57 σημεία. Εφαρμόζοντας ένα θεμελιώδες θεώρημα της προβολικής γεωμετρίας, προκύπτει ότι ο αριθμός των σημείων πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών. Υπάρχουν λοιπόν και 57 γραμμές ή, στην περίπτωσή μας, 57 φύλλα. Αλλά ο Dobble είναι 55 ετών! Το γιατί οι δημιουργοί του επέλεξαν 55 κάρτες αντί για 57 παραμένει μυστήριο. Αν έχετε περιέργεια, αλλά και υπομονή και χρόνο, μπορείτε να προσπαθήσετε να μάθετε ποια δύο φύλλα λείπουν.
Χαβιέ Αραμαγιόνα Είναι ανώτερος επιστήμονας στο Ανώτατο Συμβούλιο Επιστημονικής Έρευνας, μέλος του ICMAT και συνδιευθυντής της Μονάδας Μαθηματικού Πολιτισμού του ICMAT.
Stefano Francaviglia Είναι καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια, Ιταλία.
Agata Timone Είναι συντονίστρια της Μονάδας Μαθηματικού Πολιτισμού του ICMAT.
Μπορείτε να ακολουθήσετε ΘΕΜΑ Σε Facebook, Χ ΚΑΙ Ίνσταγκραμή εγγραφείτε εδώ για να το λάβετε το εβδομαδιαίο μας ενημερωτικό δελτίο.